الطبولوجيا

الطوبولوجيا أو علم الفراغ أو علم المكان كلمة يونانية (من topos وتعني مكان وlogos تعني دراسة) تعني دراسة المجموعات المتغيرة التي لا تتغير طبيعة محتوياتها.مما دفع بعض علماء الرياضيات والهندسة إلى تسميتها الهندسة المطاطية.

يهتم الطوبولوجيا بدراسة الخصائص المكانية spatial properties المنحفظة وفق التشوهات ثنائية الاستمرار (الشد دون التمزيق)، هذه الخصائص تعرف عادة باللامتباينات الطوبولوجية، تأسس هذا الفرع من الرياضيات في بدايات القرن العشرين آخذا في تطوره من عام 1925 إلى 1975 حيث شهد نضوجه وتشكله كاختصاص متكامل.

شريط موبيوس يمكننا القول إذا أردنا التبسيط أن هذا العلم يهتم بالخصائص الرياضية التي لا تتأثر عند التحول من فضاء رياضي إلى آخر. كذلك يمكننا القول ان الطوبولوجيا هو العلم الذي يهتم بدراسة الخصائص الطوبولوجية التي تنتقل من فراغ إلى فراغ اخر بواسطة التشاكل. ولفهم معنى كلمة التشاكل فاننا نقول عن دالة ما انها تشكل تشاكل إذا كانت دالة مستمرة والصورة العكسية لها أيضا مستمرة وشاملة ومتباينة.

الطوبولجيا من النظريات (التركيبات) الحديثة في الرياضيات التي نشأت في القرن التاسع عشر وتبلورت في القرن العشرين. رغم أن جذوره تمتد في الهندسة والتحليل الرياضي إلا أنه بنموه استقل عنهما وأصبح الآن أداة تخدم كل الرياضيات.

وقد نما الطوبولوجيا من نواحي هندسية كما في الطوبولوجيا التجميعي (التوافقي) combinatorial على أيدي أويلر وأوغست فيرديناند موبيوس وفيليكس كلاين وريمان وتبلور على يد هنري بوانكاريه. ونما من التحليل الرياضي وكامتداد لنظرية الفئات كما في الطوبولوجيا التحليلي (العام)، ومن ثم فإن نموه اتبع خطان أحدهما المجالات التي ينظر فيها إلى الفراغات الطوبولوجية على أنها تكوينات هندسية معممة ويكون التركيز فيها على تركيب الفراغات نفسها، ومن هذه المجالات التي استحدثت الهومولجيا (الطوبولوجيا الجبري) على أيدي ايلنبرج وستينرود (1930)، والهومولجيا عل يد أيلنبرج (1945)، ودراسات الطي التي أثارتها أعمال هنري بوانكاريه (1900)، ونظرية الأبعاد التي أثارتها أعمال ريمان (1850 - 1870).

أما الخط الثاني ففي التحليل الرياضي حيث ينظر إلى االفراغات الطوبولجية كحاملة للدوالة المستمرة حيث تحتل الدوال المستمرة أهمية كبرى فيها. ومن هذه المجالات نظرية باناخ، وفراغات هيلبرت، وجبريات باناخ، والنظرية الحديثة للتكامل (تكامل لوبيغ)، ونظرية القياس، والتحليل التوافقي الحديث والتحليل الدالي.

وهذ يوضح أن الطوبولوجيا أصبح أساساً لمعظم الرياضيات المعاصرة. وعموماً فالأساس النظري لكل أنواع الطوبولوجيا هو تركيب الفراغ الطوبولوجي والطوبولوجيا التحليلي (العام).

ويعتبر كانتور من الأوئل المخترعين للطوبولوجيا التحليلي، فقدم دراسة لفئات جزئية من الفراغ الطوبولوجي وعليها قدم المفاهيم الأساسية للطوبولوجيا مثل الفئات المقفولة والفئات المفتوحة والانغلاق ونقطة النهاية والداخل والخارج،....خاصة على خط الأعداد.

أما تعريف الفراغ الطوبولوجي عن طريق الفئات المفتوحة ويسمى طوبولوجيا الفئات المفتوحة point set topologe فقدمه كازيميرز كوراتوفسكي (1922)، وعن طريق الجوار فقدمه فيليكس هاوسدورف (1914). وقد سبقهما فرشيه (1906) وريسز (1907 - 1908) في تعريف الفراغ الطوبولوجي عن طريق تقارب المتتابعات ولكن تعريفاتهم كانت غير مرضية، وقدم أندريه كولموغوروف (1935) وريسز (1907)، وهاوسدروف (1914)، وتشينوف (1930) أنواعا من الفراغات الطوبولوجية على أساس بديهيات الانفصال.

وببساطة الأنواع (الفروع أو المجالات الأساسية للطوبولوجيا) :

الطوبولوجيا التحليلي (طوبولوجيا فئات النقط),

الطوبولوجيا الهندسي (التجميعي).

الطوبولوجيا الجبري.

تاريخ الطبولوجيا

كانت بدايات الطبولوجيا في البحث عن أجوبة لتساؤلات هندسية في أواسط القرن الثامن. وتعتبر المسألة التي طرحها العالم الرياضي الكبير ليونهارد أويلر في عام 1736 بعنوان جسور كونيغسبرغ السبعة أول ورقة أكاديمية في الطوبولوجيا.

جسور كونيغسبرغ السبعة مسألة مشهورة جداً تم حلها من قبل ليونهارد أويلر وتم استخدام كلمة طوبولوجيا للمرة الأولى في ألمانيا في عام 1847 من قبل العالم الرياضي الألماني يوهان بينيدكت ليستينغ أما الكلمة الإنجليزية فقد ظهرت أول مرة في عام 1833 في مجلة نيتشر (دورية) البريطانية. وخلال الفترة الممتدة بين نهايات القرن التاسع عشر وأواسط القرن العشرين تم وضع العديد من الكتب التي أسست للطوبولوجيا لتكون علما رياضيا مستقلا. وتستند الطوبولوجيا الحديثة بشكل كبير على نظرية المجموعات. ومن أشهر علماء الطبولوجيا في بدايات القرن العشرين العالم الكبير فيليكس هاوسدورف الذي قدّم في عام 1914 مفهوم الفضاءات الطبولوجيا وما سيعرف لاحقاً باسم فضاء هاوسدورف.